MATEMATICA 2

NUMEROS COMPLEJOS

DEFINICION

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.



En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. >






OPERACIONES

Adición de números complejos:

Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumandos.

Suma = ( 2 ; 3 ) + ( 4; 5 ) =[ ( 2 + 4 ) ; ( 3 +5 )] = (6 ; 8 )




Representar en forma binómica

( 2/3 ; 5 ) = ( 2/3 + 5i ) ( 1/3 ; -2 ) = ( 1/3 - 2i)

Complejos conjugados :

Son iguales en valor absoluto tanto reales como imaginarios,pero éstos últimos tienen diferente signo.

Suma (3 + 2i ) + (3 - 2i ) = 3 +3 = 2.3 Su resultado es el DUPLO REAL

Resta ( 3 + 2i ) - ( 3 - 2i ) = 2i+2i = 2.2 = 4i Su resultado es DUPLO IMAGINARIO

Potencia de números complejos

i0 = 1 i4= 1 i8= 1
i1 = i i5= i i9= i
i2 = -1 i6 = - 1 i10= -1
i3= - i i7= - i i11 = - i

Multiplicación

Producto de una unidad imaginaria

( 2 + 4i ) .( 1 - 2i ) = Se aplica propiedad distributiva

( 2 . 1 ) + ( 2 . - 2i ) + ( 4i . 1 ) + ( 4i . - 2i ) = 2 4i + 4i + 4i2=

2 + 4 . - 1 =

2 - 4 = -3

Complejos conjugados :

El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las dos componentes

( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) = ( 3 )2 - ( 2i )2 =

9 - 4i2 = 9 - 4 . -1 =

9 + 4 = 13

Aplicando propiedad distributiva

( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) =

( 3 . 3 ) + ( 3 . - 2i ) + ( 2i . 3 )+ ( 2i . - 2i ) =

9 - 6i + 6i - - 4i2 =
9 - 4 . - 1=
9 + 4 = 13

Ejemplo de no conjugado

( 3 + 2i ) . ( 4 - 3i ) =

( 3 . 4) + ( 3.- 3i ) + ( 2i . 4 )+ ( 2 i. - 3i ) =

12 - 9i +8i - 6i =
12 -9i + 8i - 6 . (- 1)=
12 - i + 6 =
( 18 - i )

División de números complejos

5 - 2i =
4 + 3i

( 5 - 2i ) . ( 4 - 3i ) =
( 4 + 3i) . ( 4 - 3i )


20 - 8i - 15i + 6i2 =
42 + 32

20 - 8i - 15i - 6 =
16 + 9

14 - 23i =
25

( 14/25 - 23/25i )






POTENCIA DE UNA UNIDAD IMAGINARIA


Para encontrar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria “i” cogemos su exponente, y lo dividimos entre 4, y el resto siempre que va a se menor que 4 , será el valor que buscamos.

Ejemplo: Números complejos


Al dividir 43 entre 4 nos da 10 de cociente y 3 de resto.

5.

Todos los conjuntos numéricos que conocemos(naturales, racionales etc) se pueden representar en la recta real. Todos estos números ocupan cada punto de la recta por lo que a la hora de representar los números complejos nos vemos “obligados” a salir de la recta y rellenar el plano llamado plano complejo.

Se representan con ejes cartesianos siendo x el eje real e y el eje imaginario.

El punto extremo de la flecha se llama afijo del número complejo.

(a+bi) se representa :

-en el punto (a,b)

- mediante un vector de origen (0,0) y extremo en (a,b)

*las ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales y además sin solución real tienen dos soluciones imaginarias: números complejos conjugados

6. Expresiones de los números complejos en forma polar.

Cada número complejo tiene un módulo y un argumento.

El módulo el la longitud del vector que representa el número complejo. Se representa z

El argumento es el ángulo que forma el vector respecto al eje real. Se designa arg(z)

Z es igual al radio (r) y arg(z) es igual a se podría decir entonces que

El número complejo 0 no se pone en forma polar.

8.